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2006/05/18

負負得正 的證明

晚上邱守榕老師問了一個問題
為什麼負負得正?
嗯....真是問的好....誰去想過這個問題 =,=
如果問 -(-5)多少
那我們倒是蠻容易就可以回答出 5
因為....負負得正阿!



其實,要說明 -(-5) 的結果是 5
倒也不是什麼困難的事情
因為 負號 在數線上就可以看成是 "相反數"
正確一點的說,是相對稱於"0"的相反數
所以, 5 的相反數是 -5
而 -(-5) 就是 -5 的相反數,所以 -(-5)則是 5
這樣的說法還蠻容易被接受的
於是,我們就可以說 -(-a) = a
OK,別以為這樣就沒了
接下來更有趣,邱老師問: (-m)*(-n) 的結果
大家馬上就說出 (-m)*(-n) = mn
不錯吧?這個大家都知道的丫~
但是... 接下來真是跌破眼鏡,邱老師說....證明之.... @_@
天ㄚ,我真是離數學的證明題太遙遠了
突然之間,要去證明一個認為是理所當然的事情......~"~
如果你也跟我一樣認為是理所當然,要不試著證明看看?

















A)
(-m) n + m n
= n[(-m)+m] ←乘法具有分配律
= n * 0 = 0
所以 (-m)n 與 mn 是相反數
B)
(-m) (-n) + (-m) n
= (-m)[(-n) + n] ←乘法具有分配律
= (-m) * 0 = 0
所以 (-m)(-n) 與 (-m) n 是相反數
---------------------------------------------------------------
以上A) 與 B) 都用上了一個概念
兩數相加若為零,即意味著此兩數為相反數
並且,相反數具有唯一性。
接下來,C) 則用上了 A) 與 B) 的結果
C)
(-m) n + m n = (-m) (-n) + (-m) n  ← 因為A)與B)都證明結果等於0
又左式的 (-m) n 等於 右式的 (-m) n
因此 mn = (-m)(-n)
=============================================
我小時候的數學老師跟我說:
有號數的特性就是「正正得正,正負得負,負正得負,負負得正」,背起來,很重要!
你的數學老師跟你怎麼說?

2 則留言 :

  1. 解釋一:分配律著手
    當然首先要先知道幾個觀念:
    第一件事是一個正數×一個負數會是負數,
    第二件事是任何數乘上0都為0,
    第三件事是分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
    如果瞭解了這三件事情,就能推導出(-1)×(-1)=1
    我們要利用到分配律來說明為何(-1)×(-1)=1,所謂的分配律就是
    對任意的數字a、b、c,我們有 a×(b+c)=a×b+a×c
    ∵-1×〔(-1)+1〕=-1×0 ,再由分配律對左式展開
    ∴(-1)×(-1)+(-1)×1=0,
    ∵(-1)×1=-1
    (-1)×(-1)+(-1)=0---(1)
    ∵ 1+(-1)=0----------------(2)
    (1)、(2)式對照可得到(-1)×(-1)=1
    註:要瞭解此證法,前三個觀念要清楚,對中後半段同學是吃力的。
    解釋二:指數的積律著手
    指數律有許多種,例如2x‧2y=2x+y、(2x)y=2xy...(不妨以2為底數)
    我們要利用的是指數的積律:(2x)y=2xy.
    國中時候所學的是當x、y都為正數時,我們不難的推出指數的積律,
    而如果指數的積律要對無論是正數或是負數都通用,要有何條件呢?
    我們仍然以2為底數,
    依指數的積律可得(2-1)-1=2(-1)(-1).
    在左式中(2-1)=1/2,而(1/2)-1=2,也就是左式為2
    那麼又是的結果應該也是2,也就是21
    ∴(-1)×(-1)
    註:要瞭解此證法,指數率要熟悉,對國中生而言,似乎不可能,而
    為什麼我們指數的積律要對正負數都通用呢?似乎也未說明白、
    講清楚。

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    1. 哇!! 太強了~~
      好吧~~必須老實說,其實我真的看不太懂了,現在閱讀理解的能力越來越差 XD
      重點還是謝謝您的回應~ ^O^

      刪除

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