負負得正 的證明

晚上邱守榕老師問了一個問題
為什麼負負得正?
嗯....真是問的好....誰去想過這個問題 =,=
如果問 -(-5)多少
那我們倒是蠻容易就可以回答出 5
因為....負負得正阿!



其實，要說明 -(-5) 的結果是 5
倒也不是什麼困難的事情
因為 負號 在數線上就可以看成是 "相反數"
正確一點的說，是相對稱於"0"的相反數
所以， 5 的相反數是 -5
而 -(-5) 就是 -5 的相反數，所以 -(-5)則是 5
這樣的說法還蠻容易被接受的
於是，我們就可以說 -(-a) = a
OK，別以為這樣就沒了
接下來更有趣，邱老師問： (-m)*(-n) 的結果
大家馬上就說出 (-m)*(-n) = mn
不錯吧？這個大家都知道的丫~
但是... 接下來真是跌破眼鏡，邱老師說....證明之.... @_@
天ㄚ，我真是離數學的證明題太遙遠了
突然之間，要去證明一個認為是理所當然的事情......~"~
如果你也跟我一樣認為是理所當然，要不試著證明看看？

















A)
(-m) n + m n
= n[(-m)+m]　←乘法具有分配律
= n * 0 = 0
所以 (-m)n 與 mn 是相反數
B)
(-m) (-n) + (-m) n
= (-m)[(-n) + n]　←乘法具有分配律
= (-m) * 0 = 0
所以 (-m)(-n) 與 (-m) n 是相反數
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以上A) 與 B) 都用上了一個概念
兩數相加若為零，即意味著此兩數為相反數
並且，相反數具有唯一性。
接下來，C) 則用上了 A) 與 B) 的結果
C)
(-m) n + m n = (-m) (-n) + (-m) n 　← 因為A)與B)都證明結果等於0
又左式的 (-m) n 等於 右式的 (-m) n
因此 mn = (-m)(-n)
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我小時候的數學老師跟我說：
有號數的特性就是「正正得正，正負得負，負正得負，負負得正」，背起來，很重要！
你的數學老師跟你怎麼說？